[Linear Algebra] Linear dependence and independence 02

Reference

• https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces

 

 

 

More on linear independence

 

 

S를 {v1, v2, ..., vn} 벡터들의 집합이라 했을 때 lineary dependent에 관한 정의를 내린다.

 

지난 시간 선형 종속 (linearly dependent)이면 임의의 벡터 v1이 다른 벡터의 선형 결합으로 표현될 수 있음을 배웠다.

 

 

정의에 따라 v1을 v2, ..., vn의 선형 결합으로 표현을 하면 오른쪽 식이 성립이 되고,

반대로 오른쪽 식을 가정했을 때 c1은 0이 아니므로 양변을 나누고, 양변에 -1을 곱해주면 lineary dependent의 정의에 맞는 식이 성립이 된다.

 

이는 lineary dependent / independent 구별하는데 굉장히 좋은 방식이다.

 

 

 

 

 

만약 2차원 벡터가 3개인 집합에서 벡터 하나는 redundant 하다고 설명한다.

그 이유는 두 벡터가 lin.indep 라면 그 둘의 span이 R2이고, 좌표계의 어떤 점도 두 점의 결합으로 나타낼 수 있다. 나머지 하나의 벡터도 R2 위의 벡터이니 표현이 가능하다.

만약 두 벡터가 lin.dep라면 둘은 scalar 곱의 관계일 것이므로 나머지 하나의 벡터가 그들과 lin.dep일 것이다.

 

 

 

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Span and linear independence example

 

 

R3 위의 세 벡터가 주어진다.

 

 

먼저 이 세 벡터가 R3을 span하고 싶은지를 보고 싶다면 세 벡터들로 구성된 일차식이 R3 위의 임의의 벡터로 표현 가능한지 보이면 된다.

 

 

 

두 번째로 linearly indepedent한지 보이고 싶다면, 세 벡터들로 구성된 일차식이 0벡터를 만족하는 상수 c1, c2, c3가 모두 0인지 보이면 된다. Q1에서 이용한 방정식을 이용하여 a=b=c=0을 대입해 손쉽게 구할 수 있다.

 

 

일반적으로 R3을 생성하는 세 개의 벡터가 있다면 그 벡터들은 선형독립한다.

만약 그렇지 않다면 그 중 하나는 redundant한 벡터일 것이고, 두 벡터의 span을 통해 R3을 생성하지 못하기 때문이다.

>> 세 벡터 모두 lin.indep 해야지 R3을 span할 수 있음 !!