[Linear Algebra] Linear combinations and spans

References

• https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces

 

Linear combinations and spans

* Linear Combination

: add up vectors

 

ex.

위와 같이 3a + 2b가 바로 linear combination이다.

 

❓ 왜 Combination이 아니라 Linear Combination인지?

We're not multiplying each vector, we're just scaling them up.

 

 

✔️ 이 벡터 a, b를 가지고 add하거나 subtract해서 represent 해보자.

R2에서 이러한 벡터들로 linear combination을 다양하게 할 수 있다.

 

 

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The span of the vectors a and b

a와 b 벡터의 linear combination으로 R2의 어떤 vector도 표현할 수 있다.

 

 

✔️ 벡터 2개를 아무렇게나 잡아도 될까?

벡터 a와 b로 벡터 c를 절대 표현할 수 없다.

-> anything in R2를 표현할 수 없다는 예.

 

0 벡터의 경우 linear combination하여 얻을 수 있는 값은 0벡터 자기 자신 뿐이다.

 

 

unit vectors i, j를 생각해보자.

i = (1 0)

j = (0 1)

둘을 이용하면 R2 위의 어떤 벡터들도 나타낼 수 있다.

 

 

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만약 벡터 v1, v2, ..., vn으로 이루어진 집합의 생성인 경우

c1v1 + c2v2 + ... + cnvn으로 표현되는 벡터들을 다 모은다.

각각의 벡터들에 실수만큼 상수배를 한 뒤 더한다.

이런 선형결합을 다 모은 집합이 바로 span이다.

 

 

 

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✔️ R2 위의 어떤 점 X=(x1, x2)를 벡터 a, b의 linear combination으로 나타낼 수 있는지 체크해보기.

- 여기서 c1, c2를 반드시 찾을 수 있음을 보여보자.

 

X = (2, 2)라고 해보면,