[Linear Algebra] Vectors 02

Reference

• https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces

 

 

Unit vectors intro

 

이런 경우 벡터 v를 나타내보면

 

 

* Unit vectors

2차원이므로 2개의 unit vector가 존재한다.

- i: the unit vector in the horizontal direction

- j: the unit vector in the vertical direction

 

 

 

 

이 경우 벡터 v + 벡터 b는?

-> corresponding components끼리 더해주면 된다.

 

 

오른쪽과 같이 unit vector로 나타낸 것, 아래와 같이 column vector로 나타낸 것이 같은 표현임을 알 수 있다.

 

 

 

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Parametric representations of lines

 

What are all of the possible vectors I can create?

  

c는 any real number이 될 수 있으므로, 

 

 

이 모두를 좌표계에 그려보면 아래와 같이 그려질 것이다.

 

따라서 위에서 정의한 S는 'set of colinear vectors'라고 한다.

 

 

이 v를 position vector라고 보면

S라는 집합은 a bunch of position vectors이 되어 기울기가 1/2인 whole line으로 표현될 수 있을 것이다.

 

 

원점과 (2, 4)를 지나는 벡터 X가 있다고 해보자.

 

(2, 4)를 지나며 v벡터와 평행한 직선을 그려보자.

 

이 벡터들을 어떻게 represent 할 수 있을까?

 

v벡터 직선 위의 어떤 점에서 X 벡터를 더한다면 corresponding point는 내가 원하는 직선 위에 있을 것이다.

 

v에 음수가 곱해져도 마찬가지!

 

 

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이렇게 정의한다면 L은 위 그림에서 blue line이 될 것이다.

 

R2에서는 이런 식도 성립이 되지만

 

차원이 더 커진다면 이 형태가 general 할 것이다.

여기서 우린 X와 v를 2차원에서 정의했지만, 이 차원을 늘릴 수도 있을 것이다.

 

 

 

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다음과 같은 벡터 a, b가 있다고 하자.

a와 b를 지나는 직선을 그려보자.

 

green line

 

 

벡터 b - 벡터 a 를 하게 된다면?

 

왼쪽 벡터

벡터 b - a의 normal 형태는 위 그림과 같이 그려질 것인데,

우리가 하고 싶은 것은 green line의 parametrization이다.

 

구하기 위해선? 위 벡터를 shift 해야 할 것이다.

 

 

 

x-coordinate은 -2t, y-coordinate은 2t+3이 된다.

 

 

scalar t를 곱해주게 된다면?

 

 

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R3에서는 line을 정의하는 방법이 이렇게 parametric equation을 갖는 방법밖에 없다.

x + y + z = k와 같은 경우는 line이 아닌 plane이 되기 때문이다.