시계열 분석 대체 너가 뭔데 (ARIMA, AR, MA, ACF, PACF, STL 분해, ADF 검정)

🌳 시계열 데이터

시간의 흐름에 따라 관찰된 데이터

 

-> 과거 데이터의 패턴을 분석해 미래의 값을 예측하자.

 

(1) 추세(Trend) : 데이터가 장기적으로 증가하거나 감소하는 경향

(2) 순환(Cycle)

(3) 계절성(Seasonal): 특정 시간의 주기로 나타나는 패턴

(4) 불규칙요소(Random, Residual): 설명될 수 없는 임의의 변동

 

 

🌿 미래 예측의 전제

- 과거의 일정한 패턴은 미래에도 동일하게 반복될 것이다.

-> 안정적(정상적)인 데이터에 대해서만 미래 예측이 가능하다.

 

 

🌳  정상적이다. (Stationary) = 안정적이다.

- 과거의 패턴이 미래에도 반복될 것이다.

- 시계열의 통계적 특징(평균, 분산, 자기 상관)이 변하지 않는다.

- 랜덤한 움직임을 가지지만, 시점마다 유사하게 동작하는 특징이 있어 시간에 따라 안정된 분포를 갖는다.

 

(1) 모든 시점 t에 대해 평균이 같다.

(2) 모든 시점 t에 대해 분산이 같다.

(3) 자기 공분산 (자기 상관관계)이 시간이 아닌 시차에 의존한다. (|t-s| = h)

 

 

 

🌿 정상적이지 않은 시계열 데이터의 경우?

- 로그 변환: 분산이 커지는 경향을 가지는 시계열을 안정화

- 차분: 추세를 제거하는 효과

- 계절차분: 계절추세를 제거하는 효과

 

 

🌳 STL 분해 (Seasonal & Trend decomposition using Losses)

시계열에는 Trend, Cycle, Seasonal, Residual 데이터가 있었다.

- 여기서 보통 추세(Trend)와 주기(Cycle)을 결합해 하나의 성분으로 여기게 되는데, 이에 따라 시계열은

(1) 추세-주기 성분

(2) 계절성 성분

(3) 나머지 (remainder) 성분으로 총 3가지로 구분이 된다.

 

- 단점: 덧셈 분해만 지원

 

 

 

🌳  ARIMA

; AR(Autoregression) 모형과 MA(Moving Average) 모형을 합친 모델

- 과거의 시계열 데이터를 이용해 예측하는 모델로, 두 가지 변수(시계열, 종속 변수)를 가지고 모델을 훈련한다.

- 전제: 데이터가 stationary함

 

 

🌱  AR (Auto Regression)

: 자기 회귀 모델 (과거 자신과 현재 자신과의 관계 정의)

- 예측하고자 하는 특정 변수의 과거 관측값의 선형 결합으로, 해당 변수의 미래값을 예측하는 모형

- 이전 자신의 관측값이 이후 자신의 관측값에 영향을 준다는 아이디어에 기반

 

* AR(p) 모형의 식

 

출처: https://blog.naver.com/tjgml1343/222077619748

 

 

🌱  MA (Moving Average)

: 예측 오차를 통해 미래를 예측하는 모형 (과거 자신과 현재 자신의 오차와의 관계 정의)

 

* MA(q) 모형의 식

 

 

🌱  ARIMA

: ARIMA(p, d, q)모형이란 d차 차분한 데이터에 AR(p) 모형과 MA(q) 모형을 합친 모형

 

 

 

p와 q는 ACF 그래프와 PACF 그래프를 그려 확인하자

 

 

🌳  ACF (자기 상관 함수, AutoCorrelation Function)

: k 시간 단위로 구분된 시계열의 관측치 간 상관 관계 함수

- k=1, 2, 3, ... 일 때, k단계 떨어진 데이터 점 쌍 간들의 상관 관계

- 시차에 따른 일련의 자기 상관

- y_t와 y_t+k 사이의 자기 상관 구하기

 

 

- 점선으로 유의미한 상관 & 유의미하지 않은 상관을 확인할 수 있는데, 선의 위쪽이 유의미한 값!

- 여기서 ARIMA의 MA 계수(q)가 4개 필요할 것이라 예상 가능하다. (5번째 부터 점선 안으로 들어옴)

 

 

 

🌳  PACF (부분(편) 자기 상관 함수, Partial ACF)

부분 상관: 두 확률 변수 X와 Y에 의해 다른 모든 변수들에 나타난 상관 관계를 설명하고 난 이후에도 여전히 남아있는 상관 관계

 

: 시차 k에서의 k단계만큼 떨어져 있는 모든 데이터 점들간의 상관관계

- y_t와 y_t-k간의 순수한 상관관계로 두 시점 사이에 포함된 모든 y_t-1, y_t-2, ..., y_t-k+1의 영향은 제거한다.

 

- 여기선 ARIMA 모델의 AR 계수(p)가 2가 필요할 것이라 예상된다. (3번째부터 점선 안으로 들어옴)

 

 

 

🥕 ACF와 PACF를 동시에 고려해 ARIMA 모델의 p와 q를 결정한다!

 

 

 

🥕 모델링을 마친 후 잔차의 ACF 그래프를 그려 정상성을 따르는지 여부를 확인하고, 만약 정상성을 따르지 않는다면 p, d, q의 파라미터를 재조정해 다시 모델링하는 작업을 거치자.

 

🥕 최적의 차수를 구하고 차분을 진행한 후에도 여러 모델이 존재할 경우 가장 간단한 모델을 선택하거나 AIC 점수가 가장 낮은 모델을 선택하자.

 

 

 

 

🌳 ADF 검정 (Augmented Dickey Fuller)

정상성을 알아보기 위한 단위근 검정 방법

- 단위근(unit root); 시계열에서 예측할 수 없는 결과 초래

- 자기 상관을 함께 사용할 수 있어 DF 검정보다 더 복잡한 모형들을 다룰 수 있음

 

- 귀무가설(H_0): 단위근이 존재한다.

- 대립가설(H_1): 시계열 자료가 정상성을 만족한다. (단위근이 존재하지 않는다.)

 

* 검정 통계량(ADF Statistics)가 Critical Value보다 작으면 stationary한 데이터

* p-value가 설정한 신뢰 수준값(eg. 0.05)보다 작으면 stationary한 데이터

 

 

 

 

🌳  SARIMA

ARIMA는 Non-seasonal 모델을 가정한다.

 

-> 계절성 패턴이 반영된 모델: SARIMA (Seasonal ARIMA)

- SARIMAX 클래스를 이용하면 Multiplacted SARIMA(p, d, q)*(P, D, Q, m) 모형 추정 및 예측 가능

 

출처: https://today-1.tistory.com/36

 

 

 

 

 

 

 

---

 

/ References

 

https://leedakyeong.tistory.com/entry/ARIMA%EB%9E%80-ARIMA-%EB%B6%84%EC%84%9D%EA%B8%B0%EB%B2%95-AR-MA-ACF-PACF-%EC%A0%95%EC%83%81%EC%84%B1%EC%9D%B4%EB%9E%80

ARIMA란? :: ARIMA 분석기법, AR, MA, ACF, PACF, 정상성이란?

 

https://blog.naver.com/tjgml1343/222077619748

[ADsP] 시계열 분석 모델을 공부했다. (AR, MA, ARIMA, ACF, PACF)

 

https://today-1.tistory.com/36

시계열 알고리즘_ARIMA/SARIMA